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<!DOCTYPE html>

<title>Homöomorphismus</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Homöomorphismus</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Homöomorphismus</b> (von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">ὁμοῖος</span> oder <span lang="grc-Grek" class="Grek">ὅμοιος</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

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</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">homoios</span> „ähnlich, gleichartig“ und <span lang="grc-Grek" class="Grek">μορφή</span> <span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">morphé</span> „Form, Gestalt“; zuweilen fälschlicherweise auch <i>Homeomorphismus</i> in Anlehnung an den englischen Begriff <i><span lang="en">homeomorphism</span></i>, keinesfalls aber zu verwechseln mit <a href="Homomorphismus" title="Homomorphismus">Homomorphismus</a>) ist ein zentraler Begriff im <a href="Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">mathematischen Teilgebiet</a> <a href="Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">Topologie</a>. Er bezeichnet eine <a href="Bijektiv" class="mw-redirect" title="Bijektiv">bijektive</a>, <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige</a> Abbildung zwischen zwei <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen Räumen</a>, deren <a href="Umkehrabbildung" class="mw-redirect" title="Umkehrabbildung">Umkehrabbildung</a> ebenfalls stetig ist. Die Stetigkeitseigenschaft hängt von den betrachteten topologischen Räumen ab.

</p><p>Zwei topologische Räume heißen <i>homöomorph</i> (auch topologisch äquivalent), wenn sie durch einen Homöomorphismus (auch topologische Abbildung oder topologischer Isomorphismus) ineinander überführt werden können; sie liegen in derselben <i>Homöomorphieklasse</i> und sind, unter topologischen Gesichtspunkten, gleichartig. Die Topologie untersucht Eigenschaften, die unter Homöomorphismen <a href="Topologische_Invariante" title="Topologische Invariante">invariant</a> sind.

</p><p>Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus als Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands vorstellen; Zerschneiden ist nur erlaubt, wenn man die Teile später genau an der Schnittfläche wieder zusammenfügt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"></span> seien <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologische Räume</a>. Eine Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f986e95e93b70de25a0084daf075cb02c3ccae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}" loading="lazy"></span> ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn gilt:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> ist <a href="Bijektiv" class="mw-redirect" title="Bijektiv">bijektiv</a></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> ist <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetig</a></li>

<li>die Umkehrfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}" loading="lazy"></span> ist ebenfalls stetig.</li></ul>

<p>Homöomorphismen lassen sich wie folgt charakterisieren: Sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"></span> topologische Räume, so sind für eine bijektive, stetige Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}" loading="lazy"></span> äquivalent:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> ist ein Homöomorphismus.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> ist eine <a href="Offene_Abbildung" title="Offene Abbildung">offene Abbildung</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> ist eine <a href="Abgeschlossene_Abbildung" title="Abgeschlossene Abbildung">abgeschlossene Abbildung</a>.</li></ul>

<p>Topologische Räume, zwischen denen es einen Homöomorphismus gibt, heißen <b>homöomorph</b>. Die Menge aller zu einem Raum homöomorphen Räume heißt <b>Homöomorphietyp</b> oder <b>Homöomorphieklasse</b>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Jede offene Kreisscheibe (mit positivem Radius) ist homöomorph zu jedem offenen Quadrat (mit positiver Seitenlänge) in der euklidischen Ebene <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}" loading="lazy"></span>. Eine Kreisscheibe lässt sich also anschaulich gesehen durch Verbiegen und Verzerren, ohne Zerschneiden, in ein Quadrat überführen, und umgekehrt.</li></ul>

<ul><li>Das offene Intervall <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left]0,1\right[}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left]0,1\right[}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a5471595b2e7b5c1ecc10ea08df3ea3fa5d14a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left]0,1\right[}" loading="lazy"></span> ist homöomorph zum Raum <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></span> aller <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a>. Jedes offene Intervall lässt sich ohne Weiteres ins Unendliche verzerren. Ein Homöomorphismus, der dies für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left]0,1\right[}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left]0,1\right[}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a5471595b2e7b5c1ecc10ea08df3ea3fa5d14a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.653ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left]0,1\right[}" loading="lazy"></span> vermittelt, ist zum Beispiel</li></ul>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \left]0,1\right[&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto \tan \left(\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\cdot \pi \right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eaec81d166dc43a381505403dd649d381d1008a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:27.789ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \left]0,1\right[&\to \mathbb {R} \\x&\mapsto \tan \left(\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\cdot \pi \right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Der <a href="Produkttopologie" title="Produkttopologie">Produktraum</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/575fc11ceac27a98a6507a96dd71e72ebd1d9d31.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.534ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}" loading="lazy"></span> des Einheitskreises mit sich selbst ist homöomorph zum zweidimensionalen <a href="Torus" title="Torus">Torus</a>, also zu der Form eines Fahrradschlauchs. Für einen Homöomorphismus, der dies vermittelt, wird zunächst einem Punkt auf dem ersten Kreis eine Stelle auf der Felge des Fahrradreifens zugeordnet, dann einem Punkt auf dem zweiten Kreis eine Stelle auf dem an der Felgenstelle anliegenden Reifenquerschnitt.</li></ul>

<ul><li>Jeder <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a> im Sinne der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> ist ein Homöomorphismus.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutung_der_Umkehrbarkeit">Bedeutung der Umkehrbarkeit</h2></div>

<p>Die dritte Bedingung der Stetigkeit der <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrfunktion</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}" loading="lazy"></span> ist unerlässlich. Man betrachte zum Beispiel die Funktion

</p>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \left[0,2\pi \right[&\to \mathbb {S} ^{1}\\x&\mapsto \left(\cos(x),\sin(x)\right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad3ddcab060f8b0977acf69727bc355ee9b5be62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.751ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \left[0,2\pi \right[&\to \mathbb {S} ^{1}\\x&\mapsto \left(\cos(x),\sin(x)\right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Diese Funktion ist stetig und bijektiv, aber kein Homöomorphismus. Die Umkehrfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}" loading="lazy"></span> bildet Punkte nahe bei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b53cc1773694affcc1d4d6c2c778d43156a1206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,0)}" loading="lazy"></span> auf weit voneinander entfernte Zahlen in der Nähe von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy"></span> ab; anschaulich würde der Kreis an der Stelle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b53cc1773694affcc1d4d6c2c778d43156a1206.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,0)}" loading="lazy"></span> zerrissen und dann flach abgerollt zum Intervall.

</p><p>Beschränkt man sich auf bestimmte Arten topologischer Räume, dann folgt die Stetigkeit der Umkehrabbildung einer Bijektion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> bereits aus der Stetigkeit von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span>. Zum Beispiel ist eine stetige Bijektion zwischen <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakten</a> <a href="Hausdorff-Raum" title="Hausdorff-Raum">Hausdorff-Räumen</a> bereits ein Homöomorphismus. Zum Beweis dieser Aussage dient der folgende

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> ein kompakter und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"></span> ein hausdorffscher topologischer Raum ist, dann ist jede stetige bijektive Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon X\to Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon X\to Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.68ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon X\to Y}" loading="lazy"></span> ein Homöomorphismus.</dd></dl>

<dl><dt>Beweis</dt>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\colon Y\to X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/263df9f4ac00972d999b70dafb0a2f485531fa7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.517ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\colon Y\to X}" loading="lazy"></span> die Umkehrabbildung und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subseteq X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subseteq X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dce86da0107830a9a97287f9486d9b4ff022875.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.822ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\subseteq X}" loading="lazy"></span> abgeschlossen, es ist zu zeigen, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{-1}(A)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{-1}(A)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f94fe477ad8296642f949a400a8af6d0653e9df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.003ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g^{-1}(A)}" loading="lazy"></span> abgeschlossen ist. Als abgeschlossene Teilmenge eines Kompaktums ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> kompakt. Da stetige Bilder kompakter Mengen wieder kompakt sind, ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{-1}(A)=f(A)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{-1}(A)=f(A)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4237d218bf4ccc69fd48d4ae0502f2487445c7f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.933ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g^{-1}(A)=f(A)}" loading="lazy"></span> kompakt. Da kompakte Mengen in Hausdorffräumen abgeschlossen sind, ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{-1}(A)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{-1}(A)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f94fe477ad8296642f949a400a8af6d0653e9df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.003ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g^{-1}(A)}" loading="lazy"></span> abgeschlossen, was den Beweis beendet.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<p>Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind, haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften, das sind Eigenschaften, die sich ausschließlich durch die unterliegende Menge und den darauf definierten offenen bzw. abgeschlossenen Mengen ausdrücken lassen. Das liegt daran, dass ein Homöomorphismus definitionsgemäß eine Bijektion zwischen den unterliegenden Mengen und zwischen den Systemen offener Mengen ist. Beispiele solcher Eigenschaften sind <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">Kompaktheit</a>, <a href="Zusammenh%C3%A4ngender_Raum" title="Zusammenhängender Raum">Zusammenhang</a>, <a href="Trennungseigenschaft" class="mw-redirect" title="Trennungseigenschaft">Trennungseigenschaften</a> und viele mehr. Der Nachweis, dass es sich um eine topologische Eigenschaft handelt, kann mitunter schwierig sein, insbesondere dann, wenn die ursprüngliche Definition zusätzliche Strukturen verwendet. Ein Beispiel einer solchen Eigenschaft ist <a href="Metrisierbarkeit" class="mw-redirect" title="Metrisierbarkeit">Metrisierbarkeit</a>, hier zeigt der <a href="Satz_von_Bing-Nagata-Smirnow" title="Satz von Bing-Nagata-Smirnow">Satz von Bing-Nagata-Smirnow</a>, dass es sich um eine topologische Eigenschaft handelt. <a href="Eberlein-kompakter_Raum" title="Eberlein-kompakter Raum">Eberlein-Kompaktheit</a> ist ein weiteres nicht-triviales Beispiel. Genauer ist damit gemeint, dass sich die genannten Eigenschaften (Metrisierbarkeit bzw. Eberlein-Kompaktheit) auch durch Eigenschaften des Systems der offenen Mengen charakterisieren lassen, ohne Bezugnahme auf die zusätzlichen Strukturen (in diesen Fällen Metrik oder Banachraum).

</p><p>Es gibt aber auch Eigenschaften gewisser Räume, die bei Homöomorphismen nicht erhalten bleiben, zum Beispiel die <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">Vollständigkeit</a> metrischer Räume. Die <a href="Euklidische_Ebene" class="mw-redirect" title="Euklidische Ebene">euklidische Ebene</a> und die <a href="Offene_Einheitskreisscheibe" class="mw-redirect" title="Offene Einheitskreisscheibe">offene Einheitskreisscheibe</a> mit der Standardmetrik sind homöomorph bzgl. der durch die Metrik definierten Topologien, erstere ist vollständig, letztere hingegen nicht. Vollständigkeit ist daher keine topologische Eigenschaft, sie bleibt bei Homöomorphismen in der Regel nicht erhalten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lokaler_Homöomorphismus"><span id="Lokaler_Hom.C3.B6omorphismus"></span>Lokaler Homöomorphismus <span id="Lokaler_Hom.C3.B6omorphismus"></span><span id="Lokaler_Homöomorphismus"></span></h2></div>

<p>Eine stetige Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> zwischen topologischen Räumen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y}" loading="lazy"></span> heißt <i>lokaler</i> <i>Homöomorphismus,</i> falls für jeden Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6201478b1190a333ea731849684429a697638dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.05ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in X}" loading="lazy"></span> eine <a href="Umgebung_(Mathematik)" title="Umgebung (Mathematik)">offene Umgebung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc4b6027fd83ac32e7b4f4113c60a69041292723.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.861ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\subseteq X}" loading="lazy"></span> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> existiert, so dass

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(U)\subseteq Y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7a70fffd4623352bbc153c944de0b708a323b92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.742ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(U)\subseteq Y}" loading="lazy"></span> eine offene Umgebung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368cb4b81ba5754d7a354a4ce49c2f1084bdaace.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(a)}" loading="lazy"></span> bildet und</li>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f|_{U}\colon U\rightarrow f(U)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f0cc53b34aa85d30f5ed46ffc44718424e5b304.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.719ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f|_{U}\colon U\rightarrow f(U)}" loading="lazy"></span> ein Homöomorphismus ist.</li></ul>

<p>Jeder Homöomorphismus ist ebenfalls ein lokaler Homöomorphismus, die Umkehrung gilt aber nicht, wie folgendes Beispiel zeigt: Die Abbildung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \left\{0\right\}\rightarrow \mathbb {C} ,\,x\mapsto x^{2}}">

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \left\{0\right\}\rightarrow \mathbb {C} ,\,x\mapsto x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04780be8ef6cefd9e06d6b19dc93ede9f1295e68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.714ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \left\{0\right\}\rightarrow \mathbb {C} ,\,x\mapsto x^{2}}" loading="lazy"></span> ist nicht bijektiv, aber ein lokaler Homöomorphismus, da die Ableitung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> nirgends verschwindet.

</p><p>Ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> außerdem surjektiv, so spricht man auch von einer <i>lokal topologischen</i> Abbildung.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Lutz_F%C3%BChrer" title="Lutz Führer">Lutz Führer</a>: <cite style="font-style:italic">Allgemeine Topologie mit Anwendungen</cite>. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>17</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hom%C3%B6omorphismus&rft.au=Lutz+F%C3%BChrer&rft.btitle=Allgemeine+Topologie+mit+Anwendungen&rft.date=1977&rft.genre=book&rft.isbn=3528030593&rft.pages=17&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Karl_Peter_Grotemeyer" title="Karl Peter Grotemeyer">K. P. Grotemeyer</a>: <cite style="font-style:italic">Topologie</cite> (= <cite style="font-style:italic"><a href="BI-Hochschultaschenb%C3%BCcher" title="BI-Hochschultaschenbücher">BI-Hochschultaschenbücher</a></cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>836</span>). <a href="Bibliographisches_Institut" title="Bibliographisches Institut">Bibliographisches Institut</a>, Mannheim, Wien, Zürich 1969, ISBN 3-411-00836-9, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>14</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/0204.22402"><i>zbMATH Open</i></a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hom%C3%B6omorphismus&rft.au=K.+P.+Grotemeyer&rft.btitle=Topologie&rft.date=1969&rft.genre=book&rft.isbn=3411008369&rft.pages=14&rft.place=Mannheim%2C+Wien%2C+Z%C3%BCrich&rft.pub=Bibliographisches+Institut&rft.series=BI-Hochschultaschenb%C3%BCcher" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Horst_Schubert_(Mathematiker)" title="Horst Schubert (Mathematiker)">Horst Schubert</a>: <cite style="font-style:italic">Topologie. Eine Einführung</cite>. 4. Auflage. <a href="B._G._Teubner_Verlag" title="B. G. Teubner Verlag">B. G. Teubner Verlag</a>, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>19</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hom%C3%B6omorphismus&rft.au=Horst+Schubert&rft.btitle=Topologie.+Eine+Einf%C3%BChrung&rft.date=1975&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=3519122006&rft.pages=19&rft.place=Stuttgart&rft.pub=B.+G.+Teubner+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li><a href="Stephen_Willard" title="Stephen Willard">Stephen Willard</a>: <cite style="font-style:italic">General Topology</cite> (= <cite style="font-style:italic">Addison-Wesley Series in Mathematics</cite>). <a href="Addison-Wesley" title="Addison-Wesley">Addison-Wesley</a>, Reading, Massachusetts u. a. 1970, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>46</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/0205.26601"><i>zbMATH Open</i></a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Hom%C3%B6omorphismus&rft.au=Stephen+Willard&rft.btitle=General+Topology&rft.date=1970&rft.genre=book&rft.pages=46&rft.place=Reading%2C+Massachusetts+u.+a.&rft.pub=Addison-Wesley&rft.series=Addison-Wesley+Series+in+Mathematics" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Diffeomorphismus" title="Diffeomorphismus">Diffeomorphismus</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Links">Links</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Homeomorphisms?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Homöomorphismus</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Homeomorphism.html"><i>Homeomorphism.</i>.</a> In: <i><a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> (englisch).</li></ul>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4352383-3">4352383-3</a></span> </div>

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